求C(n,m)%mod的方法总结

1.当n,m都非常小的时候能够利用杨辉三角直接求。

C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。

2.利用乘法逆元。

乘法逆元：(a/b)%mod=a*(b^(mod-2)) mod为素数。

逆元能够利用扩展欧几里德或欧拉函数求得：

1).扩展欧几里德：b*x+p*y=1 有解，x就是所求 2).费马小定理：b^(p-1)=1(mod p),故b*b^(p-2)=1(mod p),所以x=b^(p-2)

1. n!/(m!*(n-m)! =x%p ,先对算出n！、m！

、(n-m)!对p取模的余数。就转换为a/b=x%p;由于p为素数。所以等价于bx+py=a;然后用扩展的欧几里得定理算出 bx’+py’=1的解。x=x’*a，就得到了终于的x的值，即C(m,n)%p得值。

2.逆元 事实上假设mod是素数 则b的逆元事实上就是b^(mod-2)

也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)p-2 ；

int inv(int a) {      //return fpow(a, MOD-2, MOD);      return a == 1 ?

1 : (long long)(MOD - MOD / a) * inv(MOD % a) % MOD; } LL C(LL n,LL m) { if(m < 0)return 0; if(n < m)return 0; if(m > n-m) m = n-m; LL up = 1, down = 1; for(LL i = 0 ; i < m ; i ++){ up = up * (n-i) % MOD; down = down * (i+1) % MOD; } return up * inv(down) % MOD; }

3.当n和m比較大，mod是素数且比較小的时候（10^5左右）。通过Lucas定理计算

Lucas定理：A、B是非负整数，p是质数。A B写成p进制：A=a[n]a[n-1]…a[0]。B=b[n]b[n-1]…b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])C(a[n-1],b[n-1])…*C(a[0],b[0]) mod p同余

即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

#include
      
       //#include
       
        using namespace std;typedef long long ll;int quick_power_mod(int a,int b,int m){
     //pow(a,b)%m    int result = 1;    int base = a;    while(b>0){         if(b & 1==1){            result = (result*base) % m;         }         base = (base*base) %m;         b>>=1;    }    return result;}//计算组合数取模ll comp(ll a, ll b, int p) {
     //composite num C(a,b)%p    if(a < b)   return 0;    if(a == b)  return 1;    if(b > a - b)   b = a - b;    int ans = 1, ca = 1, cb = 1;    for(ll i = 0; i < b; ++i) {        ca = (ca * (a - i))%p;        cb = (cb * (b - i))%p;    }    ans = (ca*quick_power_mod(cb, p - 2, p)) % p;    return ans;}ll lucas(ll n, ll m, ll p) {     ll ans = 1;     while(n&&m&&ans) {        ans = (ans*comp(n%p, m%p, p)) % p;//also can be recusive        n /= p;        m /= p;     }     return ans;}int main(){    ll m,n;    while(cin>>n>>m){        cout<
        
         <
        
       
      

C(n % mod, m % mod) % mod; 假设太大还是利用上面的逆元来处理。

半预处理

由于Lucas定理保证了阶乘的数均小于p，所以能够讲全部的阶乘先预处理，优化C（n,m）

mod的要求：p<10^6，且为素数

有效范围：1<=n,m<=10^9

//半预处理  const ll MAXN = 100000;  ll fac[MAXN+100];  void init(int mod)  {      fac[0] = 1;      for (int i=1; i
      
       n ) return 0;      return fac[n] * (GetInverse(fac[m]*fac[n-m], mod)) % mod;  }
      

4.另一种就是分解质因子。这个比較麻烦。